100个红绿球，让2万人集体翻车，数学家「罐中难题」引爆全网讨论(7)
一个直觉是，Alice可以在短时间内得很多分。例如，在连续出现正面HHHHHHH情况下，她在第一次之后的每次抛掷中都得分。
在100次抛掷中，Alice的分数可以高达99，但Bob最多只能得50分。
所以Alice会以压倒性的优势获胜，这意味着她在游戏中浪费了一些期望得分。
相较之下，Bob可能会赢得更多比赛，但每次获胜优势较小。通过模拟验证，可以证明这个结果是正确的。
不确定的是，如果改变游戏规则的话，这个启发性的方法是否成立。
而且，Litt表示，我不知道是否存在一个证明，能够完全解释这种现象，特别是一个适用于任意次数翻转的证明。
概率论家、数学博士发论文
对于自己所出的概率题，Litt也做了一个证明，但仅是一个复杂，且缺乏理论的论证。
而真正让他兴奋的是，这些谜题在一大波专业人士中，掀起了热议。
一位数学博士Sridhar Ramesh收集了一些漂亮的论证。
他将抛硬币问题比作成一个「随机行走」的问题，其中向上和向下的步骤概率相等，但速度分布不同。
从中可以获得的关键观察是，返回原点所需的时间，与第一步向上还是向下无关。
因为反向执行相同的步骤，也有相同的概率。
由此，可以得出，对于任何固定的行走时间，最后一步离开原点的方向（向上或向下）的概率是相等的。
那么，再将这个观察应用到硬币游戏中：
-HH相当于一个单位时间的「向上」步骤
- HT^n H相当于n+1个单位时间的向下步骤
这意味着，游戏结束时，我们同样可能在原点之上（Alice赢，或者存在一个可能让游戏平局HT^n H的中间步骤），或原点之下（Bob赢）。
如果游戏由HHT，后面全是T组成，有可能会平局。
由于可能在HT^n H步骤的中间结束，（在给Bob一个使游戏平局的分数后，但在返回到H之前），而不可能在HH的中间结束，所以Alice获胜的可能性比Bob小。
Litt还表示，有一大类问题是从最初抛硬币问题中衍生出来的。
对于这些问题，很多人提出了不错的论证，但他个人仍然觉得，无法实现直观的理解。至少从业余观点来看，其中有很多令人惊讶的有趣的数学。
另有一位来自罗格斯大学教授Doron Zeilberger，在这些问题中发现了有价值的内容，并发表了论文。
论文地址：https://arxiv.org/pdf/2405.13561
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