一个直觉是,Alice可以在短时间内得很多分。例如,在连续出现正面HHHHHHH情况下,她在第一次之后的每次抛掷中都得分。
在100次抛掷中,Alice的分数可以高达99,但Bob最多只能得50分。
所以Alice会以压倒性的优势获胜,这意味着她在游戏中浪费了一些期望得分。
相较之下,Bob可能会赢得更多比赛,但每次获胜优势较小。通过模拟验证,可以证明这个结果是正确的。
不确定的是,如果改变游戏规则的话,这个启发性的方法是否成立。
而且,Litt表示,我不知道是否存在一个证明,能够完全解释这种现象,特别是一个适用于任意次数翻转的证明。
概率论家、数学博士发论文
对于自己所出的概率题,Litt也做了一个证明,但仅是一个复杂,且缺乏理论的论证。
而真正让他兴奋的是,这些谜题在一大波专业人士中,掀起了热议。
一位数学博士Sridhar Ramesh收集了一些漂亮的论证。
他将抛硬币问题比作成一个「随机行走」的问题,其中向上和向下的步骤概率相等,但速度分布不同。
从中可以获得的关键观察是,返回原点所需的时间,与第一步向上还是向下无关。
因为反向执行相同的步骤,也有相同的概率。
由此,可以得出,对于任何固定的行走时间,最后一步离开原点的方向(向上或向下)的概率是相等的。
那么,再将这个观察应用到硬币游戏中:
-HH相当于一个单位时间的「向上」步骤
- HT^n H相当于n+1个单位时间的向下步骤
这意味着,游戏结束时,我们同样可能在原点之上(Alice赢,或者存在一个可能让游戏平局HT^n H的中间步骤),或原点之下(Bob赢)。
如果游戏由HHT,后面全是T组成,有可能会平局。
由于可能在HT^n H步骤的中间结束,(在给Bob一个使游戏平局的分数后,但在返回到H之前),而不可能在HH的中间结束,所以Alice获胜的可能性比Bob小。
Litt还表示,有一大类问题是从最初抛硬币问题中衍生出来的。
对于这些问题,很多人提出了不错的论证,但他个人仍然觉得,无法实现直观的理解。至少从业余观点来看,其中有很多令人惊讶的有趣的数学。
另有一位来自罗格斯大学教授Doron Zeilberger,在这些问题中发现了有价值的内容,并发表了论文。
论文地址:https://arxiv.org/pdf/2405.13561
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