（1910-1991）

、Barry C. Mazur

（1937-）

、Karol Borsuk

（1905-1982）

的合作研究对数学至关重要，但我并不是评价这方面工作的最佳人选。他同D.H.Hyers

（1913-1997）

关于泛函方程f(x+y)=f(x)+f(y)的工作也同样非常有趣，同样有趣的还有他与Cornelius J. Everett

（1914-1987）

的工作。不过既然现在是在为这本杂志撰稿，我应该谈一谈他提出的著名的重构猜想

[Harary

[6]

中的术语叫作“重构疾病”（reconstruction disease）]

。这个方面第一个结论来自乌拉姆的学生Paul Kelly，而一般情形还远没有解决，到今天这个领域也非常活跃。乌拉姆有一个非常宽泛的元问题：如果在某种结构中

A

^

2=B

^

2

，那么A=B是否成立？这个问题的答案常常是否定的，但也有一些例外。这些问题催生了不少有趣的论文。

乌拉姆在洛斯阿拉莫斯的那几年，研究了如何使用计算机解决纯粹和应用数学问题，并取得了一些重要的开拓性成果。我并不打算在这里多费笔墨，不是因为我认为这项研究不重要或者无趣，只是我认为这一部分应该交给该领域的内行来写。我只提一下，他同合作者们一起得到了一些迭代函数中有趣、丰富又意外的猜想。关于他在“猎户座计划”中关于星际航行的贡献，我能说的就更少了。在我印象中FreemanDyson

（1923-2020）

曾在此项目中非常活跃，希望他和其他人能写得更深入一些。关于此事还有一件趣闻。乌拉姆作为计划的发起人之一一直非常自豪，最后项目告吹他也深表遗憾

（据我所知，早在禁止太空核爆的条约（《部分禁止核试验条约》）签订之前，该项目就已经被抛弃了。乌拉姆肯定是不想违反条约，而是希望能重新进行谈判）

。有一次他告诉我，他从歌德的《浮士德》中找到了一条宣传猎户座计划的绝佳口号：“Und was vor uns ein alter Mann gedacht und was wir dann so herrlich weitgebracht ja bis an die Sterne weit”

[“一位老者曾经产生的思想，又被我们发扬光大，是啊，远至星辰”；译者注：浮士德原文中不是alter Mann（老人），而是weiser Mann（智者）]

。乌拉姆说这里的“老者”是指爱因斯坦。我马上纠正他，“不对，老者应该是你，而星辰

（恒星）

应该换成行星。”乌拉姆总是害怕变老，他很自豪于自己70岁还能打网球，甚至打得很好。他非常幸运地躲过了两大恶魔——老去的年龄以及衰退的智力，他在心脏衰竭中，死的毫无恐惧与疼痛，临终之前仍能证明定理、提出猜想。

在我上次访问佛罗里达大学时， Alexander R. Bednarek

（1933-2007）

给我讲了一个关于乌拉姆的很棒的故事。或许这个故事经过了一定润色，不过Marcel Riesz

（1886-1969）

曾告诉我，“如果你有一个好故事，就不用担心故事到底是真是假了”，而且起码我能肯定这个故事确有其事。几年前弗罗茨瓦夫大学的Gladysz教授访问了盖恩斯维尔

（即佛罗里达大学的所在地）

。正好他从来没见过乌拉姆，在Bednarek介绍他们认识之后，两人用波兰语谈了很久。当乌拉姆离开之后，Gladysz问Bednarek：乌拉姆是不是

那个有名的乌拉姆

的儿子？Bednarek觉得不好意思而没有告知真相，但他觉得乌拉姆听了一定会很高兴，便把这个故事告诉了乌拉姆。Bednarek告诉我，第二天几乎所有的数学家都知道了这件事。

作为一个数学家，乌拉姆不仅精于证明那些有趣又深刻的定理，他更擅长的或许是提出新颖又富有启发性的问题与猜想。他在一些自己没有过多涉猎的领域也提出了很多美妙的猜想。我打算介绍两三个我自己熟知领域中的例子。Norman H. Anning

（1883-1963）

和我一起证明，假如x1,x2,…是平面

（或En，即高维欧氏空间）

中的无穷点集，并且两两之间的距离全都为整数，则这些点必然在同一条直线上。乌拉姆立马就问，“是否可以有无穷多个这样的点，它们并不都位于一条直线上，并且两两之间的所有距离都是有理数？”我回答说，“是的，Anning和我找到了这样的例子，但欧拉早就预见到了这一点。”乌拉姆反驳道，“我不相信平面中的点集可以处处稠密而距离又是有理数。”我觉得他的猜想应该是对的，但这个问题大概会非常深刻。“两两距离是有理数”这个条件对于一个无穷点集来说或许是非常严苛的，但是我们对此还一无所知。

即便乌拉姆并不是数论学家，他也发表了很多有趣的数论问题，其中不少是他在博尔德1963年的数论会议上提出的。他还与海法

（以色列城市）

的Eri Jabotinsky各自独立发现了“幸运数”

（译者注：幸运数的定义类似于埃拉托斯特尼筛法，但每一步并非移除素数的整数倍，而是移除某些特定位置的素数。这样得到的数拥有很多类似素数的性质）

。

在70和80年代，我和乌拉姆经常一起在佛罗里达大学，我们发表了许多关于组合学与集合论的文章。这里我只打算提一下，乌拉姆提出的某一个问题引出了很多图论中的问题与结论。

以下这个问题是我们五个作者最先在一篇论文中提出的

[2]

：令G(n)和G'(n)为两个拥有n个顶点的图，e(G)为G的边数。我们假设e(G)=e(G')。所谓U-分解

（decomposition）

是指把边的集合分割为形如

并使得所有的图和都同构。如果G和G'的边数相同，那么上述分解一定存在。定义U(G,G')为最小的使U分解存在的n。令

我们证明了