原标题：数学筹码：李永乐告诉你为什么赢不了庄家

对于赌场的想像，很多人第一时间想到的是：周润发、刘德华、周星驰各版的拉风出场，身披黑色大衣，梳着大背头迎风前行，然后鼓风机使劲地吹，这才是赌神的样子。

实际上，赌场里隐藏的巨鲸赌客，是那些低调沉默、思维严谨的数理爱好者。

他们会关注博彩公司的赔率，找到安全的对冲办法。

挖掘博弈后面的胜率，不轻易踏入庄家设置的陷阱。

在赌场上长期获利的高手，他们赌的不是人生运气，其实赌的是数学筹码。

所以，你真的心血来潮忍不住要赌上一把时，如果找不到希尔伯特、伯努利、贝叶斯这样的搭档，那就带上李永乐这样的数学小助理。

01

小试牛刀

看看做庄怎么样才能赚钱

在去赌场之前，我们先小试身手。知己知彼，方能百战百胜。做赌徒之前，先做个庄了解一下本质。看看庄是怎么赚钱的，体验下数学的威力。

欧冠赛场都结束了，我们就以中超赛事做个庄。以最简单的“广州恒大VS武汉卓尔”猜胜负为例：

已知1：恒大胜，赔率1.50；卓尔胜，赔率2.50；

已知2：买恒大胜投注总额x元，买卓尔胜投注总额y元；

求证：只要满足一定条件，无论比赛结果如何，庄家必定赢钱。

聪明的李老师搬来个小黑板开始计算：作为庄家的我们收入是：x+y元

假设1：恒大胜出，庄家需派奖1.50x元

假设2：卓尔胜出，庄家需派奖2.50y元

推论：当x+y>1.50x，且x+y>2.50y，两个条件同时成立时，庄家收入恒大于任何一种比赛结果的派奖额，庄家必定能赢钱。

这个方程组很好解：

x+y>1.50xx+y>2.50y

=>0.5x<y<0.67x<p="">

图片来源：李老师的西瓜视频教程

所以，当买恒大胜与卓尔胜的投注额满足以上方程时，我这个做庄的就会赢钱。

这个例子虽然简单，但让赌徒看到了数学的力量。

做庄这么爽，不过且慢，这帮下注的兄弟们也不一定听我的啊。

他们凭什么这么听话，会以这样的比例投注？所以，数学并非万能，还要谈谈人性。

02

调整赔率

让人性来配合数学

做庄看起来没那么容易，得好好再算计算计。别偷鸡不成，反蚀把大米。

按照上面算出的0.5x<y<0.67x赔率：<p="">

假设押注恒大的总金额为100万，押注卓尔的总金额为60万。

我们在赛前收到的总押注金额为160万。

如果

恒大胜了

，需要赔出100万×1.5=150万。

毛利为：160万-150万=10万。

如果

卓尔胜了

，需要赔出60万×2.5=150万。

毛利为：160万-150万=10万。

在这个赔率区间

下注，的确稳赚不赔，的确是好生意。

如果不在0.5x<y<0.67x这个投注比例区间呢。假设老王押注恒大总金额为100万，押注卓尔总金额也是100万。如果恒大赢了，庄家赚到手的就是50万。如果卓尔赢了，我需要赔出100万×2.5=250万。倒贴50万——如果真这样，我拉着小李同学就要跑路。<p="">

图片来源：李老师的西瓜视频教程

李老师镇定如常，称要祭出杀手锏了，那就是“诱盘”。所谓诱盘，举个例子：2014年6月30日

哥斯达黎加对希腊

的决赛。

6月27日盘口显示：哥斯达黎加赔率1.7，即每投注100元，可赢170元，希腊赔率为2.2。

6月28日，盘口中哥队赔率上升到1.75，而希队下降到2.15。

6月29日上午，哥队赔率飙升至2.075，希队赔率则降至1.825。

许多赌客将赌资回流至希腊队，从而保证投注额分配始终处于有利庄家的模式里。

作为庄家，总有办法将下注比率锁定在0.5x<y<0.67x。所以，做庄一定是赚钱的。看来，我得去拿个博彩的营业执照。<p="">

李老师非常冷静地提醒我：清醒，清醒，我们没有资格做庄，我们只是个小赌徒。

03

看得到的是概率

看不见的是陷阱

幸好我们都是理性的人，马上从梦乡里惊醒过来。不过，毕竟学了点小皮毛，忍不住想去拉斯维加斯开赌的。李老师认为得先训练训练，做庄和当赌徒是不一样的。

这话说得有道理，我欲善其赌，必先利其器。不过太复杂的赌博游戏，我也不太懂。就来一个最简单的玩法：与李老师比抛硬币。

规则是这样的：

掷硬币，正面赢反面输，如果赢了可以拿走比赌注多一倍的钱，如果输了则会赔掉本金。

乍一听可能觉得这游戏还不错，公平！

于是拿出了身上的100元来玩这个游戏，每次下注5元，这样至少有20次的下注机会。不过，运气不太好，第一把就是反面，输了5块钱。

生性乐观的我觉得没什么，反正不管怎么说，赢面都有50%，下一把就可以赢回来。结果，很快就把身上的钱都输光了。反复试验了很多次，仍然是同样的结果。

百思不得其解：明明是公平的50%赢面，在50%概率下至少不会亏本的，可为什么最后会输光？

助理李永乐同学再一次教导我，你以为自己看到了50%的概率，把游戏看得透彻明白，殊不知，你看到了

概率

，却没有看到背后的

陷阱：大数定律。

04

大数定律：

貌似公平的陷阱

一正一反，均为50%概率，按照大数定律来说，这是

必然规律

。然而，你有没有想过，正是这种表面上的“公平”，让你

误解了大数定律，最终陷入了“赌徒谬论”？

先来看看这种让你觉得“公平”的大数定律究竟是什么。它是数学家伯努利提出的：

假设n是N次独立重复试验中事件A发生的次数，p是每一次试验中A发生的概率，那么，当N趋于无穷时：

[图片]

式中n表示发生次数，N表示试验总次数。

也就是说，大量重复的随机现象里其实藏着某种必然规律。

还是以掷硬币为例，当投掷次数足够大时，出现正（反）面的频率将逐渐接近于1/2，且随着投掷次数的增加，偏差会越来越小，如下图。这是最早发现的大数定律之一。

▲掷硬币频率分布图

从表面概率看，这确实是场公平的游戏。但这种公平是有一定条件的，注意，这就是普通人看不到的。大数定律讲究

“大量重复的随机现象”

，只有

足够多次

试验才能使得硬币正反面出现次数与总次数之比几乎等于

1/2

。

图片来源：李老师的西瓜视频教程

可具体多少次才算“足够多”？才能够把它用在个人对赌上？没有人知道。因为，概率论给出的答案是——无穷大。

可投掷硬币次数越小，大数定律的身影就越模糊，可能10次中5正5反，也可能9正1反，也可能10正0反或0正10反……

现实往往是，在远未达到“足够多”次试验时，你就已经输了个精光了。你觉得自己比赌场更有钱吗？

把“大数定律”当“小数定律”，这种在潜意识里被奉为圭臬的“公平”，让你踏入了

“赌徒谬论”

。

所以，这种与赌场比抛硬币的游戏万万是不能玩的。

05

虚拟模型

如何获得安全的最高收益

又学会了一点知识，禁不住有点小得意。实在是等不及了，现在就要去拉斯维加斯当赌王。

阻止一个想赌徒实在太难，想要阻止一个想当赌王的赌徒是难上加难。但无论如何，作为一个合格的助理，他必须讲出最后的赌场秘密。如果一定要去赌的话，一定要研究下面这个数学模型，才能走上赌王之路。

先假设了一个博彩模型（特别声明一下，这只是假设模型，实际上不会有这么好的赌徒赔率）：

一个1赔2（不包括本金）的简单赌局，扔硬币下注，假设赌注为1元，硬币如果为正面则净赢2元，如果为反面则输掉1元。现在你的总资产为100元，每一次的押注都可投入任意金额。

你会怎么赌呢？已知掷硬币后正反面的概率都为50%，赔率是1赔2（不包括本金），那么这个赌局其实只要耐心去下注，从数学上讲那是稳赚不赔的赌局。但

实际情况却可能会有偏差。

如果你是冒险主义者

要玩就玩票大的，All In！一次性把100元全押上，幸运的话一次就获得200元。

如果输了，100元资产拱手献给对方。好不容易来趟拉斯维加斯，这肯定不是明策。

如果你是保守主义者

你可能会想，谨慎点，百分之一慢慢来。

你每次只下注1元，正面赢2元，反面输1元。

玩了20把突然觉得，对方下注10元一次就赢得20元，自己1次才赢2元、10次才能赢得20元，感觉自己已经错过几个亿而开始后悔！

图片来源：李老师的西瓜视频教程

那到底该以多少比例下注才能获得

最大收益

？这貌似无常的赌局，真的有

数学规律

吗？

是的，后面隐藏着一个

数学秘密：凯利公式

却能够算出答案：利用这个公式计算后，你每次下注比例为

当时总资金的25%

，这样就能获得最大收益。

真的吗？赌徒的热血已经沸腾了。

06

赌场的数学秘密：

凯利公式

让我们来看看凯利公式的庐山真面目：

在公式中，各参数意义为：

f=应投注的资本比例；

p=获胜的概率（也就是抛硬币正面的概率）；

q=失败的概率，即(1-p)（也就是硬币反面的概率）；

b=赔率，等于期望盈利÷可能亏损（也就是盈亏比）；

公式上面的分子(bp-q)代表“赢面”，数学中叫“期望值”。

什么才是

不多不少

的合适赌注呢？凯利告诉我们要通过选择

最佳投注比例

，才能长期获得

最高盈利

。

回到前面（第五节）提到的例子中，硬币抛出正反面的概率都是50%，所以p、q获胜失败的概率都为0.5，而

赔率＝期望盈利÷可能亏损=2元盈利÷1元亏损

，赔率就是2，我们要求的答案是f，也就是

(bp-q)÷b=(2*50%-50%)÷2=25%。

图片来源：李老师的西瓜视频教程

由此，我们根据凯利公式的计算而得投注比例，在这个博彩赔率里，我每次都拿出当前手中资金的25%来进行下注。设初始资金为100，硬币为正面时收益为投注的2倍，为反面则失去投注金额。在以下两个表中，我们模拟计算了10次赌局的收益情况。

▲表1-25%投注下10次收益表

▲表2-25%投注下10次收益表

表1从先正后反的情况计算了收益，表2则计算了正反分布交错情况下的收益结果。比较两表最终可以发现其收益是相等的，硬币出现正反面的先后顺序对于最终收益的计算结果并无影响。

而按25%的投注比例进行投注，收益基本呈现稳步增长的大趋势。

但假设投注比例为100%时，10次当中只要出现任意一次的反面，就会彻底输光身上的所有钱，直接出局，且每轮反面概率还为50%；

而每次1元1元地投注，也就是投注比例为1%的时候，10次数学上的收益为100+10×50%×2+(-1)×10×50%=105，这风险很小，不过收益太低。

由此看来，凯利公式才是真正理解了赌博的人儿啊。

07

赌徒困境：

你的期望值是负值

以上举的1赔2的例子，是一个虚拟模型。这个数学模型，对赌徒是非常有利的。

因为根据f=(bp-q)/b公式，

(bp-q)÷b=(2*50%-50%)÷2=25%。

这个结果（又叫期望值）是一个正数，赌徒可以利用凯利公式获得收益。

然而，实际的

赌博游戏

中，几乎都是对赌徒

不公平

的游戏。也就是说，这个模型是

反过来的

，

期望值

对赌徒来说是

负数

。当然，你表面上是

看不出来的

，或者说

期望负值

很低

，赌徒很难完全感知到。

作为一个理性的赌徒，得认真读完以下3条准则。

①期望值(bp-q)为0时，赌局为公平游戏。

②期望值(bp-q)为负时，赌徒处于劣势，更不应下任何赌注。

③期望值(bp-q)为正时，这时按照凯利公式投注赚钱最快，风险最小。

也就是说，大部分的赌博游戏，赌徒的期望值实际上是第②条。把以上例子中的身份颠倒过来，也就是说庄家在利用凯利公式同你下注。

可见，这表面看来浅薄浮躁的赌场，其实冷静深邃。除了上面说到的数学和人性，实际上涉及经济学、博弈论等。要真正深入了解这方面知识，还有很多深奥的学问，涉及到

马尔科夫链、二项分布、递推公式

等等。

幸好有李永乐小助理，搜他，搜他，这家伙可真是个宝藏宝宝。

这位数学小助理——“李永乐老师”，现在是西瓜视频独家创作人，之后他的科普视频更新只能在西瓜视频看到。

结

赢家法则是“不赌”

谁都逃不过“赌徒破产困境”

有人可能说，我又不是与赌场对赌，我只要赢了对手就行了。可无论是你还是对方，或明或暗都是要给赌场“抽水”的。也许抽水只有小小的2%，但赌的时间一长，都是在给赌场打工。在庄的眼里，赌徒永远有一个逃不开的魔咒：

赌徒破产困境。

▲赌徒破产定理模拟图

当然，没有谁能说服一个

堕落的赌徒

，李永乐也不能，因为这是

人格的缺陷

。但如果你还是一个具有

理性精神的人

，就别再迷恋运气。

赌徒能够依靠的是祖宗保佑，而赌场后面的大佬是

高斯、凯利、伯努利这样的数学大神。

你很难赢得了庄家。

所以，还是去西瓜视频看看“李永乐老师”的视频。

论理性，没有人能比赌场老板更理性。

论数学，没有人能比赌场老板请的专家更精通数学。

论赌本，没有人能比赌场老板的本钱更多。

世上有太多人还在心存侥幸，告诉他唯一的答案。如果要想真正赢得人生这场赌局，法则只有一个：

不赌

。